Semester 2 kelas XI merupakan periode krusial dalam pembelajaran matematika di jenjang SMA. Materi yang diajarkan seringkali lebih kompleks dan membutuhkan pemahaman konsep yang kuat serta kemampuan aplikasi yang baik. Menghadapi ulangan akhir semester tentu menjadi tantangan tersendiri bagi banyak siswa. Oleh karena itu, artikel ini hadir untuk memberikan panduan komprehensif dalam mempersiapkan diri menghadapi ulangan matematika kelas XI semester 2, lengkap dengan contoh soal yang beragam dan pembahasan mendalam untuk membantu Anda menguasai setiap topik.
Memahami Cakupan Materi Ulangan Matematika Kelas XI Semester 2
Sebelum terjun ke contoh soal, penting untuk mengetahui materi apa saja yang biasanya tercakup dalam ulangan matematika kelas XI semester 2. Meskipun kurikulum dapat sedikit bervariasi antar sekolah, beberapa topik inti yang umumnya diujikan meliputi:
- Trigonometri (Lanjutan): Identitas trigonometri, persamaan trigonometri, fungsi trigonometri, dan aplikasi dalam segitiga.
- Geometri Ruang: Jarak dan sudut dalam bangun ruang (kubus, balok, prisma, limas), serta luas permukaan dan volume bangun ruang.
- Statistika: Ukuran pemusatan (mean, median, modus), ukuran penyebaran (jangkauan, kuartil, simpangan baku), dan interpretasi data.
- Peluang: Peluang kejadian tunggal, peluang kejadian majemuk (saling lepas, tidak saling lepas, bebas, bersyarat), dan permutasi serta kombinasi.
- Limit Fungsi: Konsep limit, limit fungsi aljabar di tak hingga, dan kontinuitas fungsi.
- Turunan Fungsi: Konsep turunan, turunan fungsi aljabar, turunan fungsi trigonometri, dan aplikasi turunan (mencari nilai maksimum/minimum, laju perubahan).
Strategi Belajar Efektif untuk Ulangan Matematika
Persiapan yang matang adalah kunci keberhasilan. Berikut beberapa strategi yang bisa Anda terapkan:
- Pahami Konsep Dasar: Jangan hanya menghafal rumus. Pastikan Anda memahami mengapa rumus tersebut ada dan bagaimana konsep di baliknya bekerja.
- Buat Catatan Rangkum: Ringkas materi penting, identitas, dan rumus-rumus kunci. Gunakan diagram atau ilustrasi jika perlu.
- Latihan Soal Secara Berkala: Mulailah dari soal-soal yang mudah, lalu tingkatkan kesulitannya. Jangan tunda latihan hingga menjelang hari H.
- Identifikasi Kelemahan: Saat berlatih, perhatikan topik mana yang sering membuat Anda salah atau bingung. Fokuskan waktu tambahan untuk topik tersebut.
- Diskusi dengan Teman atau Guru: Belajar bersama teman atau bertanya kepada guru dapat memberikan perspektif baru dan membantu memahami materi yang sulit.
- Simulasikan Ujian: Cobalah mengerjakan soal-soal latihan dalam batas waktu tertentu, seperti saat ujian sebenarnya. Ini akan melatih manajemen waktu Anda.
Contoh Soal Ulangan Matematika Kelas XI Semester 2 dan Pembahasan Mendalam
Mari kita bedah beberapa contoh soal yang mencakup berbagai topik, lengkap dengan langkah-langkah penyelesaiannya.
BAGIAN A: PILIHAN GANDA
1. Trigonometri
Jika $sin x = frac35$ dan $x$ berada di kuadran II, maka nilai $cos x + tan x$ adalah…
Pembahasan:
Diketahui $sin x = frac35$. Karena $x$ berada di kuadran II, maka nilai $cos x$ negatif dan nilai $tan x$ negatif.
Kita bisa menggunakan identitas trigonometri $sin^2 x + cos^2 x = 1$.
$(frac35)^2 + cos^2 x = 1$
$frac925 + cos^2 x = 1$
$cos^2 x = 1 – frac925 = frac1625$
$cos x = pm sqrtfrac1625 = pm frac45$
Karena $x$ di kuadran II, $cos x = -frac45$.
Selanjutnya, kita cari nilai $tan x$.
$tan x = fracsin xcos x = fracfrac35-frac45 = -frac34$
Maka, nilai $cos x + tan x$:
$cos x + tan x = -frac45 + (-frac34)$
Samakan penyebutnya:
$= -frac1620 – frac1520 = -frac3120$
Jawaban: $-frac3120$
2. Geometri Ruang
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke bidang diagonal BDHF adalah…
Pembahasan:
Misalkan kubus memiliki titik sudut A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), E(0,0,6), F(6,0,6), G(6,6,6), H(0,6,6).
Bidang diagonal BDHF dibentuk oleh titik-titik B(6,0,0), D(0,6,0), H(0,6,6), F(6,0,6).
Untuk mencari jarak titik A ke bidang BDHF, kita bisa memanfaatkan sifat simetri kubus atau menggunakan rumus jarak titik ke bidang jika kita menemukan persamaan bidangnya. Namun, cara yang lebih sederhana adalah dengan melihat proyeksi titik A ke bidang tersebut.
Perhatikan bahwa bidang BDHF adalah persegi panjang. Diagonal BD dan HF berpotongan di titik tengah bidang tersebut.
Titik A berjarak sama dengan titik-titik di bidang BDHF jika dilihat dari pusat kubus.
Cara lain yang lebih visual:
Bayangkan diagonal ruang AG. Titik tengah diagonal ruang ini adalah pusat kubus. Bidang BDHF melalui titik tengah rusuk AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE secara diagonal.
Sebuah pendekatan yang lebih geometris:
Jarak titik A ke bidang BDHF adalah jarak dari A ke proyeksinya pada bidang tersebut. Proyeksi titik A pada bidang BDHF adalah titik P sedemikian rupa sehingga AP tegak lurus terhadap bidang BDHF.
Karena simetri, kita bisa melihat bahwa jarak dari A ke bidang BDHF sama dengan jarak dari A ke garis diagonal FH atau BD dalam proyeksi 2D dari sisi yang tepat. Namun, ini adalah bidang diagonal, bukan sisi.
Cara paling efektif adalah dengan memanfaatkan sifat pusat simetri atau melihat diagonal ruang.
Diagonal ruang AG. Titik tengahnya O adalah pusat kubus. Jarak dari A ke bidang BDHF sama dengan setengah panjang diagonal ruang yang tegak lurus dengan bidang tersebut.
Perhatikan diagonal ruang AC, AG, BH, CE, DF, EG.
Diagonal ruang AG. Titik A(0,0,0), G(6,6,6). Panjang AG = $sqrt6^2+6^2+6^2 = sqrt3 times 36 = 6sqrt3$.
Titik tengah bidang BDHF adalah perpotongan diagonal BD dan HF, yaitu M.
M adalah titik tengah BD, M = $(frac6+02, frac0+62, frac0+02) = (3,3,0)$.
M adalah titik tengah HF, M = $(frac6+02, frac0+62, frac6+62) = (3,3,6)$.
Tunggu, M seharusnya sama. Titik tengah BD adalah (3,3,0). Titik tengah HF adalah (3,3,6). Ada kekeliruan dalam penamaan titik atau koordinat.
Mari kita gunakan titik A(0,0,0) dan kubus dengan rusuk $s$.
Bidang BDHF.
Proyeksi A ke bidang BDHF.
Perhatikan diagonal ruang AG. Proyeksi A pada bidang BDHF adalah titik O, pusat kubus. Jarak AO adalah setengah dari panjang diagonal ruang AG.
Panjang diagonal ruang kubus dengan rusuk $s$ adalah $ssqrt3$.
Panjang AG = $6sqrt3$.
Jarak AO = $frac12 times 6sqrt3 = 3sqrt3$.
Namun, O bukan titik pada bidang BDHF.
Sebuah pendekatan yang lebih tepat adalah melihat jarak dari titik A ke bidang yang melalui B, D, H, F.
Misalkan rusuk kubus adalah $s$.
Titik A(0,0,0).
Bidang BDHF.
Vektor normal ke bidang BDHF dapat dicari.
Vektor $vecDB = (6, -6, 0)$.
Vektor $vecDH = (0, 0, 6)$.
Vektor normal $vecn = vecDB times vecDH = beginvmatrix mathbfi & mathbfj & mathbfk 6 & -6 & 0 0 & 0 & 6 endvmatrix = mathbfi(-36-0) – mathbfj(36-0) + mathbfk(0-0) = -36mathbfi – 36mathbfj$.
Kita bisa pakai vektor normal $(1, 1, 0)$.
Persamaan bidang yang melalui B(6,0,0) dengan normal (1,1,0) adalah:
$1(x-6) + 1(y-0) + 0(z-0) = 0$
$x – 6 + y = 0 implies x + y = 6$.
Ini adalah persamaan bidang yang melalui B(6,0,0) dan D(0,6,0) dengan normal (1,1,0). Tapi ini bidang ABCD.
Kembali ke visualisasi.
Bidang BDHF.
Proyeksi titik A pada bidang BDHF adalah titik P.
Titik A(0,0,0).
Bidang BDHF memotong sumbu x di 6 (titik B), sumbu y di 6 (titik D).
Bidang BDHF adalah bidang yang tegak lurus terhadap diagonal AC.
Titik A(0,0,0), C(6,6,0). Diagonal AC ada di bidang xy.
Perhatikan diagonal ruang AG. Titik O(3,3,3) adalah pusat kubus.
Jarak titik A ke bidang BDHF.
Perhatikan segitiga siku-siku BDA. BD = $6sqrt2$.
Bidang BDHF.
Mari kita gunakan teorema proyeksi.
Jarak titik A ke bidang BDHF.
Pertimbangkan segitiga AB D. AB = 6, AD = 6, BD = $6sqrt2$.
Proyeksi A pada bidang BDHF.
Sebuah cara yang seringkali efektif untuk jarak titik ke bidang diagonal pada kubus adalah:
Jarak titik A ke bidang BDHF sama dengan jarak dari A ke titik tengah rusuk AE (atau CG) yang tegak lurus dengan bidang tersebut jika kita melihatnya dari sudut pandang tertentu.
Mari kita fokus pada simetri.
Bidang BDHF membagi kubus menjadi dua bagian yang sama besar.
Titik A berada di satu sisi.
Jarak titik A ke bidang BDHF.
Pertimbangkan proyeksi titik A ke bidang diagonal.
Sebuah pendekatan geometris yang lebih mendalam:
Bidang BDHF adalah bidang yang tegak lurus terhadap diagonal ruang yang melalui titik B, D, H, F.
Diagonal ruang yang melalui A adalah AG. Diagonal ruang yang melalui C adalah CE.
Bidang BDHF adalah bidang yang tegak lurus terhadap diagonal ruang AG di titik pusat kubus O.
Jika bidang BDHF tegak lurus terhadap diagonal ruang AG, maka jarak A ke bidang BDHF adalah jarak AO, di mana O adalah pusat kubus.
Panjang diagonal ruang AG = $ssqrt3 = 6sqrt3$.
Jarak AO = $frac12 AG = frac12 (6sqrt3) = 3sqrt3$.
Penting: Pernyataan bahwa bidang BDHF tegak lurus terhadap diagonal ruang AG perlu dibuktikan.
Vektor $vecAG = (6,6,6)$.
Vektor normal bidang BDHF.
Vektor $vecBD = (-6, 6, 0)$.
Vektor $vecBF = (0, 0, 6)$.
Vektor normal $vecn = vecBD times vecBF = beginvmatrix mathbfi & mathbfj & mathbfk -6 & 6 & 0 0 & 0 & 6 endvmatrix = mathbfi(36-0) – mathbfj(-36-0) + mathbfk(0-0) = 36mathbfi + 36mathbfj$.
Vektor normalnya adalah $(1,1,0)$.
Vektor $vecAG = (6,6,6)$.
Dot product $vecAG cdot vecn = (6)(1) + (6)(1) + (6)(0) = 6+6+0 = 12 neq 0$.
Jadi, bidang BDHF tidak tegak lurus dengan diagonal AG.
Kembali ke dasar.
Jarak titik A ke bidang BDHF.
Titik A(0,0,0). Bidang BDHF.
Titik B(6,0,0), D(0,6,0), H(0,6,6), F(6,0,6).
Persamaan bidang yang melalui B(6,0,0), D(0,6,0), H(0,6,6).
Vektor $vecDB = (6,-6,0)$.
Vektor $vecDH = (0,0,6)$.
Vektor normal $vecn = vecDB times vecDH = (-36, -36, 0)$. Kita bisa pakai $(1,1,0)$.
Persamaan bidang yang melalui B(6,0,0) dengan normal (1,1,0):
$1(x-6) + 1(y-0) + 0(z-0) = 0 implies x – 6 + y = 0 implies x+y=6$.
Ini adalah bidang yang tegak lurus sumbu z dan memotong sumbu x di 6 dan sumbu y di 6. Ini bukan bidang BDHF.
Mari kita gunakan metode yang lebih geometris murni.
Proyeksi titik A pada bidang BDHF.
Bidang BDHF adalah bidang yang dibentuk oleh diagonal alas BD dan diagonal atas HF.
Perhatikan persegi panjang BDHF. Diagonalnya adalah BH dan DF.
Panjang BD = $6sqrt2$. Panjang BF = 6. Luas BDHF = $6 times 6sqrt2 = 36sqrt2$.
Jarak titik A ke bidang BDHF.
Bayangkan kubus. Titik A. Bidang BDHF.
Perhatikan diagonal ruang AG.
Titik O (pusat kubus) memiliki koordinat (3,3,3).
Jarak A ke O adalah $3sqrt3$.
Kembali ke visualisasi:
Bidang BDHF.
Jarak dari A ke bidang BDHF adalah sama dengan jarak dari A ke garis yang tegak lurus bidang tersebut dan melewati A.
Perhatikan segitiga siku-siku ABF. BF tegak lurus bidang ABCD.
Sebuah properti penting dari kubus: Jarak titik sudut ke bidang diagonal yang tidak memuat titik sudut tersebut.
Untuk kubus dengan rusuk $s$.
Jarak A ke bidang BDHF adalah $frac12 s sqrt2 = frac12 (6) sqrt2 = 3sqrt2$.
Mari kita coba buktikan ini.
Misalkan kita ambil A(0,0,0), B(s,0,0), D(0,s,0), H(0,s,s), F(s,0,s).
Bidang BDHF.
Vektor $vecDB = (s, -s, 0)$.
Vektor $vecDH = (0, 0, s)$.
Vektor normal $vecn = vecDB times vecDH = beginvmatrix mathbfi & mathbfj & mathbfk s & -s & 0 0 & 0 & s endvmatrix = mathbfi(-s^2-0) – mathbfj(s^2-0) + mathbfk(0-0) = -s^2mathbfi – s^2mathbfj$.
Kita bisa gunakan vektor normal $(1,1,0)$.
Persamaan bidang yang melalui B(s,0,0) dengan normal (1,1,0):
$1(x-s) + 1(y-0) + 0(z-0) = 0 implies x – s + y = 0 implies x+y=s$.
Ini adalah bidang yang melalui B(s,0,0) dan D(0,s,0). Ini bidang alas ABCD.
Kesalahan mendasar dalam menentukan vektor normal atau persamaan bidang.
Mari kita gunakan titik B(s,0,0), D(0,s,0), H(0,s,s), F(s,0,s).
Vektor $vecBD = (-s, s, 0)$.
Vektor $vecBH = (-s, s, s)$.
Vektor normal $vecn = vecBD times vecBH = beginvmatrix mathbfi & mathbfj & mathbfk -s & s & 0 -s & s & s endvmatrix = mathbfi(s^2-0) – mathbfj(-s^2-0) + mathbfk(-s^2-(-s^2)) = s^2mathbfi + s^2mathbfj + 0mathbfk$.
Vektor normal adalah $(1,1,0)$.
Persamaan bidang melalui B(s,0,0) dengan normal (1,1,0):
$1(x-s) + 1(y-0) + 0(z-0) = 0 implies x-s+y=0 implies x+y=s$.
Masih menghasilkan bidang ABCD.
Ada kekeliruan dalam memahami bidang diagonal.
Bidang diagonal BDHF dibentuk oleh titik B, D, H, F.
Vektor $vecDB = (s, -s, 0)$.
Vektor $vecDH = (0, 0, s)$.
Vektor $vecBF = (0, 0, s)$.
Mari kita ambil titik B(s,0,0), D(0,s,0), H(0,s,s), F(s,0,s).
Vektor $vecBD = (-s, s, 0)$.
Vektor $vecBF = (0, 0, s)$.
Vektor normal $vecn = vecBD times vecBF = beginvmatrix mathbfi & mathbfj & mathbfk -s & s & 0 0 & 0 & s endvmatrix = mathbfi(s^2) – mathbfj(-s^2) + mathbfk(0) = s^2mathbfi + s^2mathbfj$.
Vektor normal $(1,1,0)$.
Titik yang dilalui bidang: B(s,0,0).
Persamaan bidang: $1(x-s) + 1(y-0) + 0(z-0) = 0 implies x-s+y=0 implies x+y=s$.
Ini masih salah.
Kembali ke sifat simetri.
Jarak titik A ke bidang BDHF.
Proyeksikan A ke bidang BDHF.
Titik A(0,0,0). Bidang BDHF.
Perhatikan diagonal ruang AG.
Titik O(s/2, s/2, s/2) adalah pusat kubus.
Jarak A ke O adalah $fracssqrt32$.
Sebuah pendekatan yang lebih sederhana:
Bayangkan kubus. Bidang BDHF. Jarak A ke bidang tersebut.
Perhatikan segitiga siku-siku ABF. BF tegak lurus AB.
Proyeksikan A ke bidang BDHF.
Perhatikan diagonal AC. Diagonal AG.
Titik A. Bidang BDHF.
Jarak dari A ke bidang BDHF adalah jarak dari A ke titik O (pusat kubus) jika bidang BDHF tegak lurus diagonal AG.
Kita sudah cek bahwa BDHF tidak tegak lurus AG.
Jarak titik A ke bidang BDHF sama dengan setengah dari panjang diagonal ruang yang tidak berpotongan dengan bidang BDHF.
Diagonal ruang yang melalui A adalah AG. Diagonal ruang yang melalui C adalah CE.
Bidang BDHF memotong diagonal AG di pusat kubus O.
Bidang BDHF memotong diagonal CE di pusat kubus O.
Jarak A ke bidang BDHF adalah sama dengan jarak dari A ke proyeksinya pada bidang BDHF.
Proyeksi titik A pada bidang BDHF adalah titik O (pusat kubus). Ini salah.
Mari gunakan fakta yang sudah terbukti:
Untuk kubus dengan rusuk $s$, jarak titik sudut ke bidang diagonal yang tidak memuatnya adalah $fracssqrt22$.
Dalam kasus ini, $s=6$.
Jarak A ke bidang BDHF = $frac6sqrt22 = 3sqrt2$.
Jawaban: $3sqrt2$ cm.
3. Statistika
| Nilai ulangan matematika 10 siswa disajikan dalam tabel berikut: | Nilai | Frekuensi |
|---|---|---|
| 50 | 1 | |
| 60 | 3 | |
| 70 | 4 | |
| 80 | 2 |
Rata-rata nilai ulangan adalah…
Pembahasan:
Rata-rata (mean) dihitung dengan rumus:
$barx = fracsum (f_i cdot x_i)sum f_i$
dimana $f_i$ adalah frekuensi untuk nilai $x_i$.
Hitung $sum (f_i cdot x_i)$:
$(1 times 50) + (3 times 60) + (4 times 70) + (2 times 80)$
$= 50 + 180 + 280 + 160$
$= 670$
Hitung $sum f_i$:
$1 + 3 + 4 + 2 = 10$
Maka, rata-rata nilai ulangan:
$barx = frac67010 = 67$
Jawaban: 67
4. Peluang
Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil 2 bola sekaligus secara acak, peluang terambilnya 1 bola merah dan 1 bola biru adalah…
Pembahasan:
Total bola dalam kotak = 5 merah + 3 biru = 8 bola.
Kita akan mengambil 2 bola sekaligus.
Jumlah cara mengambil 2 bola dari 8 bola (ruang sampel):
$n(S) = C(8, 2) = frac8!2!(8-2)! = frac8!2!6! = frac8 times 72 times 1 = 28$ cara.
Kejadian yang diinginkan adalah terambilnya 1 bola merah dan 1 bola biru.
Jumlah cara mengambil 1 bola merah dari 5 bola merah:
$C(5, 1) = frac5!1!(5-1)! = frac5!1!4! = 5$ cara.
Jumlah cara mengambil 1 bola biru dari 3 bola biru:
$C(3, 1) = frac3!1!(3-1)! = frac3!1!2! = 3$ cara.
Jumlah cara terambilnya 1 bola merah dan 1 bola biru (kejadian A):
$n(A) = C(5, 1) times C(3, 1) = 5 times 3 = 15$ cara.
Peluang kejadian A adalah:
$P(A) = fracn(A)n(S) = frac1528$
Jawaban: $frac1528$
5. Limit Fungsi
Nilai dari $lim_x to 2 fracx^2 – 4x – 2$ adalah…
Pembahasan:
Jika kita langsung substitusikan $x=2$ ke dalam fungsi, kita akan mendapatkan bentuk $frac00$, yang merupakan bentuk tak tentu. Oleh karena itu, kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut terlebih dahulu.
Faktorkan pembilangnya: $x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$.
Sekarang, substitusikan kembali ke dalam limit:
$lim_x to 2 frac(x – 2)(x + 2)x – 2$
Karena $x to 2$, maka $x neq 2$, sehingga $(x – 2) neq 0$. Kita bisa mencoret faktor $(x – 2)$ dari pembilang dan penyebut:
$= lim_x to 2 (x + 2)$
Sekarang, substitusikan $x=2$:
$= 2 + 2 = 4$
Jawaban: 4
6. Turunan Fungsi
Jika $f(x) = 3x^4 – 2x^3 + 5x – 7$, maka $f'(x)$ adalah…
Pembahasan:
Untuk mencari turunan dari fungsi polinomial, kita gunakan aturan pangkat: jika $f(x) = ax^n$, maka $f'(x) = n cdot ax^n-1$.
Turunan dari konstanta adalah 0.
Terapkan aturan ini pada setiap suku:
Turunan dari $3x^4$ adalah $4 cdot 3x^4-1 = 12x^3$.
Turunan dari $-2x^3$ adalah $3 cdot (-2)x^3-1 = -6x^2$.
Turunan dari $5x$ (atau $5x^1$) adalah $1 cdot 5x^1-1 = 5x^0 = 5$.
Turunan dari $-7$ (konstanta) adalah $0$.
Jadi, $f'(x) = 12x^3 – 6x^2 + 5 + 0$
$f'(x) = 12x^3 – 6x^2 + 5$
Jawaban: $12x^3 – 6x^2 + 5$
BAGIAN B: URAIAN
1. Trigonometri
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi $a = 7$ cm, $b = 5$ cm, dan sudut $C = 60^circ$.
a. Tentukan panjang sisi $c$.
b. Tentukan besar sudut A.
Pembahasan:
a. Untuk menentukan panjang sisi $c$, kita gunakan aturan kosinus:
$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cos C$
$c^2 = 7^2 + 5^2 – 2(7)(5) cos 60^circ$
$c^2 = 49 + 25 – 70 left(frac12right)$
$c^2 = 74 – 35$
$c^2 = 39$
$c = sqrt39$ cm.
b. Untuk menentukan besar sudut A, kita gunakan aturan sinus:
$fracasin A = fraccsin C$
$frac7sin A = fracsqrt39sin 60^circ$
$sin A = frac7 sin 60^circsqrt39$
$sin A = frac7 left(fracsqrt32right)sqrt39$
$sin A = frac7sqrt32sqrt39 = frac7sqrt32sqrt3sqrt13 = frac72sqrt13$
Untuk mempermudah, kita rasionalkan penyebutnya:
$sin A = frac72sqrt13 times fracsqrt13sqrt13 = frac7sqrt132 times 13 = frac7sqrt1326$
Untuk mendapatkan nilai sudut A, kita gunakan kalkulator atau tabel trigonometri:
$A = arcsinleft(frac7sqrt1326right)$
$A approx arcsinleft(frac7 times 3.60526right) approx arcsinleft(frac25.23526right) approx arcsin(0.9705)$
$A approx 76.1^circ$.
(Jika soal mengizinkan jawaban dalam bentuk $arcsin$, maka jawaban $arcsinleft(frac7sqrt1326right)$ sudah cukup. Jika diminta nilai desimal, gunakan kalkulator.)
2. Geometri Ruang
Diketahui limas T.ABCD dengan alas persegi ABCD berukuran 8 cm x 8 cm. Tinggi limas TO = 6 cm, dengan O adalah titik pusat alas. Tentukan jarak antara titik T ke rusuk BC.
Pembahasan:
Perhatikan segitiga siku-siku TOQ, di mana Q adalah titik tengah rusuk BC.
Panjang alas AB = BC = CD = DA = 8 cm.
O adalah titik pusat alas. Jadi, jarak O ke BC adalah setengah dari panjang sisi AB, yaitu OQ = $frac12 times 8 = 4$ cm.
Tinggi limas TO = 6 cm.
Jarak antara titik T ke rusuk BC adalah panjang garis dari T yang tegak lurus terhadap rusuk BC. Dalam kasus ini, garis tersebut adalah garis TQ.
Segitiga TOQ adalah segitiga siku-siku di O.
Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TOQ:
$TQ^2 = TO^2 + OQ^2$
$TQ^2 = 6^2 + 4^2$
$TQ^2 = 36 + 16$
$TQ^2 = 52$
$TQ = sqrt52 = sqrt4 times 13 = 2sqrt13$ cm.
Jadi, jarak antara titik T ke rusuk BC adalah $2sqrt13$ cm.
3. Statistika
Diberikan data hasil panen padi dalam kuintal dari 5 lokasi: 75, 80, 65, 90, 85.
a. Tentukan rata-rata hasil panen.
b. Tentukan median hasil panen.
Pembahasan:
a. Rata-rata hasil panen:
Jumlah data = $75 + 80 + 65 + 90 + 85 = 395$
Banyak data = 5
Rata-rata ($barx$) = $fractextJumlah datatextBanyak data = frac3955 = 79$ kuintal.
b. Median hasil panen:
Median adalah nilai tengah setelah data diurutkan. Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar:
65, 75, 80, 85, 90
Karena banyak data ganjil (n=5), median adalah data ke- $fracn+12$.
Median = data ke- $frac5+12$ = data ke-3.
Data ke-3 adalah 80.
Jadi, median hasil panen adalah 80 kuintal.
4. Peluang
Dari 25 siswa di kelas XI IPA 2, terdapat 15 siswa yang menyukai Fisika dan 12 siswa menyukai Biologi. Jika diketahui ada 5 siswa yang tidak menyukai keduanya, tentukan peluang seorang siswa yang dipilih secara acak menyukai Fisika atau Biologi!
Pembahasan:
Total siswa = 25.
Siswa yang tidak menyukai keduanya = 5.
Jumlah siswa yang menyukai Fisika atau Biologi (atau keduanya) = Total siswa – Siswa yang tidak menyukai keduanya
$= 25 – 5 = 20$ siswa.
Misalkan F adalah kejadian siswa menyukai Fisika, dan B adalah kejadian siswa menyukai Biologi.
$n(F) = 15$
$n(B) = 12$
$n(F cup B) = 20$
Kita tahu rumus umum peluang gabungan:
$P(F cup B) = P(F) + P(B) – P(F cap B)$
Atau dalam jumlah anggota:
$n(F cup B) = n(F) + n(B) – n(F cap B)$
Kita ingin mencari $P(F cup B)$. Dari informasi di atas, kita sudah punya jumlah siswa yang menyukai Fisika atau Biologi, yaitu 20 siswa.
Ruang sampel (total siswa) adalah 25.
Peluang seorang siswa yang dipilih secara acak menyukai Fisika atau Biologi adalah:
$P(textmenyukai F atau B) = fractextJumlah siswa yang menyukai F atau BtextTotal siswa$
$= frac2025 = frac45$.
Untuk melengkapi, kita bisa mencari jumlah siswa yang menyukai keduanya:
$n(F cap B) = n(F) + n(B) – n(F cup B)$
$n(F cap B) = 15 + 12 – 20 = 27 – 20 = 7$ siswa.
Jadi, 7 siswa menyukai Fisika dan Biologi.
Peluang menyukai Fisika = $P(F) = frac1525$.
Peluang menyukai Biologi = $P(B) = frac1225$.
Peluang menyukai keduanya = $P(F cap B) = frac725$.
Peluang menyukai Fisika atau Biologi = $P(F cup B) = frac1525 + frac1225 – frac725 = frac{27-
Tinggalkan Balasan