Matematika kelas 8 semester 2 merupakan gerbang penting menuju pemahaman konsep-konsep matematika yang lebih mendalam di jenjang selanjutnya. Materi yang disajikan pada semester ini biasanya mencakup topik-topik krusial seperti teorema Pythagoras, lingkaran, statistika, dan peluang. Menguasai materi-materi ini tidak hanya penting untuk meraih nilai ulangan yang baik, tetapi juga untuk membangun fondasi yang kuat dalam pemikiran logis dan analitis.
Artikel ini akan menjadi panduan komprehensif bagi siswa kelas 8 dalam mempersiapkan diri menghadapi ulangan akhir semester 2. Kita akan membahas secara rinci setiap topik penting, memberikan penjelasan singkat mengenai konsepnya, dan yang terpenting, menyajikan berbagai contoh soal ulangan beserta pembahasannya. Dengan memahami contoh soal ini, siswa diharapkan dapat mengidentifikasi pola soal, strategi penyelesaian, serta area mana yang perlu mendapatkan perhatian lebih.
I. Teorema Pythagoras: Fondasi Segitiga Siku-Siku
Teorema Pythagoras adalah salah satu konsep paling fundamental dalam geometri, khususnya yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Teorema ini menyatakan bahwa dalam segitiga siku-siku, kuadrat dari panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat dari panjang sisi-sisi lainnya (sisi siku-siku).
Rumus:
$a^2 + b^2 = c^2$
Dimana:
- $a$ dan $b$ adalah panjang sisi-sisi siku-siku.
- $c$ adalah panjang sisi miring (hipotenusa).
Contoh Soal 1:
Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi siku-siku 6 cm dan 8 cm. Berapakah panjang sisi miringnya?
Pembahasan:
Diketahui:
- $a = 6$ cm
- $b = 8$ cm
Ditanya: $c$
Menggunakan rumus teorema Pythagoras:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 6^2 + 8^2$
$c^2 = 36 + 64$
$c^2 = 100$
$c = sqrt100$
$c = 10$ cm
Jadi, panjang sisi miringnya adalah 10 cm.
Contoh Soal 2:
Sebuah tangga sepanjang 5 meter disandarkan pada dinding. Jarak ujung bawah tangga ke dinding adalah 3 meter. Berapakah tinggi dinding yang dicapai oleh ujung atas tangga?
Pembahasan:
Situasi ini dapat digambarkan sebagai segitiga siku-siku, di mana:
- Panjang tangga adalah sisi miring ($c = 5$ meter).
- Jarak ujung bawah tangga ke dinding adalah salah satu sisi siku-siku ($a = 3$ meter).
- Tinggi dinding yang dicapai adalah sisi siku-siku lainnya ($b$).
Menggunakan rumus teorema Pythagoras:
$a^2 + b^2 = c^2$
$3^2 + b^2 = 5^2$
$9 + b^2 = 25$
$b^2 = 25 – 9$
$b^2 = 16$
$b = sqrt16$
$b = 4$ meter
Jadi, tinggi dinding yang dicapai oleh ujung atas tangga adalah 4 meter.
Contoh Soal 3 (Aplikasi Triple Pythagoras):
Manakah dari pasangan panjang sisi berikut yang membentuk segitiga siku-siku?
a. 7, 8, 9
b. 5, 12, 13
c. 9, 12, 16
Pembahasan:
Kita akan menguji setiap pasangan menggunakan teorema Pythagoras. Pasangan yang membentuk segitiga siku-siku adalah pasangan yang memenuhi $a^2 + b^2 = c^2$.
a. $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$. $9^2 = 81$. $113 neq 81$. Bukan segitiga siku-siku.
b. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. $13^2 = 169$. $169 = 169$. Membentuk segitiga siku-siku. (Ini adalah triple Pythagoras 5, 12, 13).
c. $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. $16^2 = 256$. $225 neq 256$. Bukan segitiga siku-siku.
Jadi, pasangan yang membentuk segitiga siku-siku adalah (5, 12, 13).
II. Lingkaran: Unsur-Unsur dan Keliling/Luasnya
Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik pusat. Materi lingkaran mencakup unsur-unsurnya (jari-jari, diameter, tali busur, apotema, busur, juring, tembereng), keliling lingkaran, dan luas lingkaran.
Rumus Penting:
- Diameter ($d$) = 2 × Jari-jari ($r$)
- Keliling Lingkaran ($K$) = $2 pi r$ atau $K = pi d$
- Luas Lingkaran ($L$) = $pi r^2$
- Nilai $pi$ umumnya dibulatkan menjadi $frac227$ atau 3.14.
Contoh Soal 4:
Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki jari-jari 7 meter. Hitunglah keliling taman tersebut. (Gunakan $pi = frac227$)
Pembahasan:
Diketahui:
- $r = 7$ meter
- $pi = frac227$
Ditanya: $K$
Menggunakan rumus keliling lingkaran:
$K = 2 pi r$
$K = 2 times frac227 times 7$
$K = 2 times 22$
$K = 44$ meter
Jadi, keliling taman tersebut adalah 44 meter.
Contoh Soal 5:
Sebuah roda sepeda memiliki diameter 70 cm. Berapakah luas permukaan roda tersebut? (Gunakan $pi = frac227$)
Pembahasan:
Diketahui:
- $d = 70$ cm
- $pi = frac227$
Ditanya: $L$
Pertama, kita cari jari-jarinya:
$r = fracd2 = frac70 text cm2 = 35$ cm
Menggunakan rumus luas lingkaran:
$L = pi r^2$
$L = frac227 times (35 text cm)^2$
$L = frac227 times 1225 text cm^2$
$L = 22 times 175 text cm^2$
$L = 3850 text cm^2$
Jadi, luas permukaan roda tersebut adalah 3850 cm$^2$.
Contoh Soal 6 (Unsur Lingkaran):
Perhatikan gambar lingkaran di bawah ini. Sebutkan unsur-unsur lingkaran yang ditunjukkan oleh huruf A, B, C, dan D.
(Asumsikan gambar memiliki: A sebagai jari-jari, B sebagai diameter, C sebagai tali busur, D sebagai apotema)
Pembahasan:
- A: Jari-jari (garis dari pusat ke tepi lingkaran)
- B: Diameter (garis lurus yang melewati pusat dan menghubungkan dua titik di tepi lingkaran)
- C: Tali Busur (garis lurus yang menghubungkan dua titik di tepi lingkaran, tidak harus melewati pusat)
- D: Apotema (garis tegak lurus dari pusat lingkaran ke tali busur)
III. Statistika: Penyajian dan Pengolahan Data
Statistika adalah cabang matematika yang berkaitan dengan pengumpulan, analisis, interpretasi, presentasi, dan organisasi data. Di kelas 8, fokus biasanya pada penyajian data dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran, serta menghitung ukuran pemusatan data seperti mean, median, dan modus.
Mean (Rata-rata): Jumlah seluruh nilai dibagi dengan banyaknya data.
Median: Nilai tengah setelah data diurutkan.
Modus: Nilai yang paling sering muncul dalam data.
Contoh Soal 7:
Data nilai ulangan matematika 10 siswa adalah sebagai berikut: 7, 8, 6, 9, 7, 8, 5, 7, 9, 8.
a. Tentukan mean dari data tersebut.
b. Tentukan median dari data tersebut.
c. Tentukan modus dari data tersebut.
Pembahasan:
Pertama, urutkan data: 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.
a. Mean:
Jumlah seluruh nilai = $5 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 = 74$
Banyaknya data = 10
Mean = $frac7410 = 7.4$
b. Median:
Karena banyaknya data genap (10), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah. Data urutan ke-5 dan ke-6 adalah 7 dan 8.
Median = $frac7 + 82 = frac152 = 7.5$
c. Modus:
Nilai yang paling sering muncul adalah 7 (muncul 3 kali) dan 8 (muncul 3 kali).
Modus = 7 dan 8 (data ini bersifat bimodal).
Contoh Soal 8 (Diagram Batang):
Perhatikan diagram batang berikut yang menunjukkan jumlah pengunjung perpustakaan selama seminggu.
(Asumsikan diagram batang menunjukkan: Senin: 50, Selasa: 70, Rabu: 60, Kamis: 80, Jumat: 90, Sabtu: 100, Minggu: 110)
a. Pada hari apakah pengunjung perpustakaan paling banyak?
b. Berapa jumlah total pengunjung perpustakaan selama seminggu?
c. Berapa selisih pengunjung terbanyak dan tersedikit?
Pembahasan:
a. Pengunjung paling banyak adalah pada hari Sabtu (100) dan Minggu (110). Jadi, pengunjung paling banyak pada hari Minggu.
b. Jumlah total pengunjung = $50 + 70 + 60 + 80 + 90 + 100 + 110 = 560$ orang.
c. Pengunjung terbanyak = 110 (Minggu). Pengunjung tersedikit = 50 (Senin).
Selisih = $110 – 50 = 60$ orang.
IV. Peluang: Kemungkinan Suatu Kejadian
Peluang adalah ukuran seberapa mungkin suatu kejadian akan terjadi. Peluang sebuah kejadian dihitung dengan membandingkan jumlah hasil yang diinginkan dengan jumlah seluruh kemungkinan hasil.
Rumus:
$P(A) = fractextJumlah hasil yang diinginkantextJumlah seluruh kemungkinan hasil$
Contoh Soal 9:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Jika satu bola diambil secara acak dari kotak tersebut, berapakah peluang terambilnya bola biru?
Pembahasan:
Jumlah bola merah = 5
Jumlah bola biru = 3
Jumlah bola hijau = 2
Jumlah seluruh bola = $5 + 3 + 2 = 10$
Peluang terambilnya bola biru ($P(textbiru)$):
$P(textbiru) = fractextJumlah bola birutextJumlah seluruh bola = frac310$
Jadi, peluang terambilnya bola biru adalah $frac310$.
Contoh Soal 10:
Dua buah dadu dilempar bersamaan. Berapakah peluang munculnya jumlah mata dadu sama dengan 7?
Pembahasan:
Ketika dua dadu dilempar, jumlah seluruh kemungkinan hasil adalah $6 times 6 = 36$.
Pasangan mata dadu yang jumlahnya 7 adalah:
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
Ada 6 pasangan yang jumlahnya 7.
Peluang munculnya jumlah mata dadu 7 ($P(textjumlah 7)$):
$P(textjumlah 7) = fractextJumlah pasangan mata dadu yang jumlahnya 7textJumlah seluruh kemungkinan hasil = frac636 = frac16$
Jadi, peluang munculnya jumlah mata dadu sama dengan 7 adalah $frac16$.
Contoh Soal 11 (Peluang Komplemen):
Dalam percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam, berapakah peluang tidak munculnya mata dadu angka 3?
Pembahasan:
Jumlah seluruh kemungkinan hasil saat melempar satu dadu adalah 6 (angka 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Peluang munculnya mata dadu angka 3 ($P(3)$) adalah $frac16$.
Peluang tidak munculnya mata dadu angka 3 adalah peluang komplemen dari munculnya mata dadu angka 3.
$P(texttidak 3) = 1 – P(3)$
$P(texttidak 3) = 1 – frac16$
$P(texttidak 3) = frac66 – frac16 = frac56$
Atau, cara lain:
Jumlah hasil yang tidak muncul angka 3 adalah 5 (angka 1, 2, 4, 5, 6).
$P(texttidak 3) = fractextJumlah hasil yang tidak muncul 3textJumlah seluruh kemungkinan hasil = frac56$
Jadi, peluang tidak munculnya mata dadu angka 3 adalah $frac56$.
Penutup
Mempelajari contoh-contoh soal ini secara mendalam akan sangat membantu siswa dalam mempersiapkan ulangan matematika kelas 8 semester 2. Kuncinya adalah memahami konsep di balik setiap soal dan berlatih secara konsisten. Jangan ragu untuk mencoba variasi soal lain dan mencari bantuan dari guru atau teman jika ada materi yang masih belum dipahami. Dengan persiapan yang matang, ulangan matematika bukan lagi menjadi momok yang menakutkan, melainkan sebuah kesempatan untuk menunjukkan kemampuan dan pemahaman yang telah diraih. Selamat belajar dan semoga sukses!
Tinggalkan Balasan